Matriz diagonal

En álgebra lineal, una matriz diagonal es una matriz cuadrada en que las entradas son todas nulas salvo en la diagonal principal, y éstas pueden ser nulas o no. Así, la matriz D = (di,j) es diagonal si:

{\displaystyle d_{i,j}=0{\mbox{ si }}i\neq j}

Ejemplo:

{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&4\end{bmatrix}}}

Toda matriz diagonal es también una matriz simétrica, triangular (superior e inferior) y (si las entradas provienen del cuerpo R o C) normal.

Otro ejemplo de matriz diagonal es la matriz identidad.

Operaciones matriciales

Las operaciones de suma y producto de matrices son especialmente sencillas para matrices diagonales. Vamos a emplear aquí la notación de diag(a1,...,an) para una matriz diagonal que tiene las entradas a1,...,an en la diagonal principal, empezando en la esquina superior izquierda. Entonces, para la suma se tiene:

diag(a1,...,an) + diag(b1,...,bn) = diag(a1+b1,...,an+bn)

y para el producto de matrices,

diag(a1,...,an) · diag(b1,...,bn) = diag(a1b1,...,anbn).

La matriz diagonal diag(a1,...,an) es invertible si y sólo si las entradas a1,...,an son todas distintas de 0. En este caso, se tiene

diag(a1,...,an)-1 = diag(a1-1,...,an-1).

En particular, las matrices diagonales forman un subanillo del anillo de las matrices de n×n.

Multiplicar la matriz A por la izquierda con diag(a1,...,an) equivale a multiplicar la fila i-ésima de A por ai para todo i. Multiplicar la matriz A por la derecha con diag(a1,...,an) equivale a multiplicar la columna i-ésima de A por ai para todo i.

Autovalores, autovectores y determinante

Los autovalores de diag(a1,...,an) son a1,...,an.

Los vectores e1,...,en forman una base de autovectores.

El determinante de diag(a1,...,an) es igual al producto a1...an.

PROPIEDADES DE AUTOVALORES

En este apartado vamos a estudiar las propiedades que tienen los autovalores de una matriz cuadrada A y en consecuencia los autovalores de la aplicación lineal cuya matriz asociada viene dada por la matriz A.

Para realizar este estudio plantearemos algunos ejemplos previos de los que podamos deducir si es posible las propiedades que tienen los autovalores. A continuación realizaremos una demostración formal de cada una de las propiedades.

PROPIEDAD 1.

Consideremos la siguiente matriz

Si calculamos los autovalores de la misma con DERIVE efectuamosPor tanto sus autovalores son –1 y 2.

¿Qué sucede con los autovalores de la matriz traspuesta?

Sea su matriz traspuesta

Si calculamos sus autovalores con DERIVE; realizamos

Observamos que son los mismo. ¿Se puede generalizar esta propiedad?

Como una matriz y su traspuesta tienen el mismo determinante entonces resulta que |(A-l I)t|= |A-l I|

Y como |(A-l I)t|=|At-l It|=|A-l I|.

Por tanto una matriz y su traspuesta tienen el mismo polinomio característico en consecuencia se verifica la propiedad:

Propiedad 1.: Los autovalores de una matriz y su matriz traspuesta coinciden.

PROPIEDAD 2.
Para examinar esta segunda propiedad consideremos una matriz con autovalores nulos, por ejemplo, consideremos la siguiente matriz

Si calculamos sus autovalores obtenemos que son

Tenemos por tanto UN AUTOVALOR NULO:

Examinemos ahora el rango de dicha matriz. Para ello basta estudiar el determinante de la misma, y observamos que

Como hay un menor no nulo de orden 2, entonces el rango de A2 es 2.

¿Existe alguna relación entre el rango de la matriz y el número de autovalores nulos?

Parece que el número de autovalores no nulos en este caso ha coincidido con el rango, pero la verdadera propiedad es la siguiente

Propiedad 2: El número de autovalores nulos de una matriz cuadrada A de rango r es menor estrictamente que n, o lo que es lo mismo, es mayor o igual que n-r.

PROPIEDAD 3.

Consideremos las dos matrices anteriores A1 y A2. Recuérdese que los autovalores de la matriz A1 y A2 eran:

De la matriz A1:

¿Cuál es el autovalor que se repite?

Para obtener esta información no nos queda más remedio que obtener el polinomio característico y factorizar. Para ello consideremos el polinomio característico de A1 que viene dado por

Si ahora factorizamos este polinomio con FACTOR-RADICAL obtenemos

Lo cual quiere decir que tenemos los autovalores -1,2,2

Por tanto ¿Cuánto vale el producto de sus autovalores? -4

De la matriz A2:

¿Cuánto vale el producto de estos autovalores? Es claro que vale 0

Consideremos ahora el DETERMINANTE de ambas matrices:

¿Observas alguna relación entre estos determinantes y los productos de los autovalores de ambas matrices?

Propiedad 3: El determinante de una matriz coincide con el producto de los autovalores de la misma.

PROPIEDAD 4.

En esta propiedad vamos a establecer una relación entre la TRAZA de ambas matrices y la suma de los autovalores de la matriz.

Veamoslo por matrices.

PARA LA MATRIZ A1:

La traza de esta matriz es:

Y la suma de sus autovalores (son –1,2,2) claramente es 3.

PARA LA MATRIZ A2:

La traza de esta matriz es:

Y la suma de sus autovalores (son 0,-1,5) claramente es 4.

Esta observación se generaliza en la siguiente

Propiedad: La traza de una matriz coincide con la suma de todos los autovalores de la matriz (considerando los autovalores repetidos).

EJERCICIO V-2.

Calcular el valor que han de tener los parámetros a y b de la siguiente matriz para que tenga como autovalores 1,10, -17.

PROPIEDAD 5

Supongamos que multiplicamos la matriz A1 por una constante, por ejemplo consideremos la matriz A3 como

¿Qué relación guardarán los autovalores de la matriz A1 y la matriz A3=5*A1?

Los autovalores de A1 eran {-1,2}

Calculemos los autovalores de la matriz A3 = 5*A1

Observemos que resultan ser {-5,10} , parece que se han multiplicado por el mismo escalar con el cual multiplicamos la matriz A1.

Para confirmar esta situación podríamos plantear otra matriz por ejemplo, consideremos la matriz

Según esta observación inicial, parece los autovalores de esta nueva matriz A4, deberían de ser {-2,4}

Veamos que esto es cierto, calculando los autovalores de la nueva matriz.

Efectuando

Efectivamente, los autovalores han quedado multiplicados por 2. Podríamos realizar varios cálculos de este estilo. Consideremos para ello la función EIGENVALUES que calcula los autovalores de una matriz cualquiera. Con esta función calculamos:Todos estos resultados parecen confirmar nuestra conjetura.

Efectivamente esta observación es una propiedad que se concreta de la siguiente forma:

Propiedad 5. Si una matriz A tiene por autovalores l1,...,lr entonces la matriz a A tendrá por autovalores al1,...,alr

PROPIEDAD 6

Veamos qué relación guardan los autovalores de una matriz y los autovalores de su inversa si esta existe.

Para ello consideremos una matriz con inversa (es decir con determinante no nulo) como puede serlo la matriz A1 puesto que

Calculemos los autovalores de la inversa

Como los autovalores de a1 eran –1 y 2, parece que los autovalores de la inversa son los inversos de los autovalores iniciales.

Consideremos para ello otra matriz y estudiemos sus autovalores (con la función eigenvalues). Sea la matriz A3, definida antes si estudiamos

Obsérvese que vuelve a verificarse nuestra primera observación.

Podríamos hacer lo mismo con la matriz A4

Nuevamente se verifica.

Por tanto se podría afirmar y demostrar que

Propiedad 6: Si una matriz A tiene inverssa y sus autovalores son l1,...,lr entonces la matriz A-1 tendrá por autovalores 1/l1,...,1/lr

PROPIEDAD 7

¿Qué podríamos afirmar de los autovalores de una potencia natural de una matriz?

Consideremos la matriz A1 y sucesivas potencias suyas y estudiemos sus autovalores:

Como se puede observar los autovalores quedan elevados a las mismas potencias que la matriz. Por tanto podemos afirmar que:

Propiedad 7: Si los autovalores de la matriz A son l1,...,lr entonces la matriz Ak tendrá por autovalores l1k,...,lrk (siendo k un número natural no nulo).

PROPIEDAD 8.
Vamos a analizar en esta propiedad cómo son los autovalores de las matrices

SIMÉTRICAS, TRIANGULARES , IDEMPOTENTES y ORTOGONALES

MATRICES TRIANGULARES
Consideremos las siguientes matrices triangulares

Si calculamos sus autovalores obtenemos

¿se observa alguna relación entre los autovalores y las matrices?

¿observas alguna relación entre la diagonal principal de las matrices y los autovalores de las mismas?

¿podríamos concluir alguna propiedad?

Efectivamente, las matrices triangulares tienen una gran particularidad en cuanto a sus autovalores LOS AUTOVALORES DE UNA MATRIZ TRIANGULAR SON LOS ELEMENTOS DE LA DIAGONAL PRINCIPAL.

La prueba de esta propiedad general, es evidente porque la traza de una matriz es la suma de los elementos de la diagonal principal y por otro lado el determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de su diagonal principal, justamente las dos propiedades que satisfacen los autovalores de las matrices en general.

MATRICES SIMÉTRICAS

Consideremos las siguientes matrices simétricas:

¿Son simétricas?

Como puede verse a simple vista son matrices simétricas. Veamos cómo son sus autovalores:

¿son todos números reales?

Consideremos otra matriz simétrica

Calculesmos sus autovalores, y resulta

¿es un número real?

¿aparece en algún lado el número imaginario i?

LOS AUTOVALORES DE LAS MATRICES SIMÉTRICAS SON SIEMPRE NÚMEROS REALES.

MATRICES IDEMPOTENTES

Las matrices idempotentes cumplen la siguiente propiedad:

TODOS LOS AUTOVALORES DE UNA MATRIZ IDEMPOTENTE SON 0 ó 1.

Una demostración formal de esta propiedad podría ser la siguiente

Si A es una matriz idempotente, entonces A.A=A. Si l es autovalores de A entonces l2 es autovalor de A2. Pero como A2=A entonces l =l2 y por tanto l2-l =9 luego

l (l -1)=0 lo cual es cierto si l =1 ó l =0.

MATRICES ORTOGONALES

Estudiar cual es el comportamiento de los autovectores de las siguientes matrices

Comprobar que son ortogonales resulta evidente efectuando

Si calculamos su autovalores

Se comprueba fácilmente que sus autovalores son 1 o –1 con lo cual esto nos induce a pensar que los autovalores de una matriz ortogonal son 1 o –1.

Propiedad: Los autovalores de una matriz ortogonal son 1 o –1.

Demostración

Si A es ortogonal entonces A.At=I

En consecuencia si l es autovalor de A también lo es de At. Pero como A es ortogonal entonces At=A-1, por tanto 1/l es el autovalor de At. En consecuencia l =1/l , es decir l2=1, y por tanto l =± 1.

Con esto tendríamos estudiadas las principales propiedades de los autovalores.

Diagonalización de una matriz

¿Qué es diagonalizar una matriz?

Para estudiar una matriz suele ser conveniente expresarla de forma lo más sencilla posible. Diagonalizar una matriz A es precisamente eso: escribirla de manera simple encontrando una matriz invertible P y una diagonal D (si se puede) tales que A = P D P -1 La matriz P se llama matriz de paso. Puede que esto, al principio, no parezca más simple de lo que ya era A directamente. Sin embargo, lo es desde muchos puntos de vista. Dado que las matrices suelen usarse para representar aplicaciones lineales, la expresión anterior puede verse como un cambio de base de la aplicación representada por A; entonces, esta forma de escribirlo dice: hay una base en la que la aplicación lineal A tiene una forma muy simple (diagonal). Esto es útil, por ejemplo, para clasificar una aplicación lineal y estudiar sus propiedades. Las matrices se usan para representar otras cosas como cónicas, cuádricas o formas bilineales, y en estos casos también resulta útil esta forma de expresarlas. La relación anterior entre las matrices A y D es importante y aparece en muchos contextos, así que tiene nombre propio:

Cuando dos matrices cuadradas A y B verifican que A = P B P -1 para cierta matriz cuadrada P (invertible, claro) decimos que A y B son semejantes.

Una matriz es diagonalizable cuando se puede diagonalizar; es decir, cuando podemos encontrar una matriz diagonal y una invertible de forma que la matriz se escriba como dijimos antes. Dicho de otra forma: una matriz es diagonalizable cuando es semejante a una matriz diagonal. En estas prácticas sólo consideraremos como diagonalizables las matrices que sean semejantes a una matriz diagonal real. Entonces, más exactamente: una matriz es diagonalizable cuando es semejante a una matriz diagonal real.

¿Cuándo y cómo podemos diagonalizar una matriz?

Si conseguimos escribir una matriz A como A = P D P -1 , entonces podemos poner también A P = P D. Si D es diagonal y nos fijamos en la columna i de esta última igualdad lo que tenemos es que A xi = Λi xi (donde xi es la columna i de A y Λi es el número en el lugar i de la diagonal de D). Esto nos dice que para diagonalizar una matriz nos hace falta conocer los vectores a los que les pase algo así. Estos vectores también tienen nombre: diagonalizacion.nb

Si un número Λ y un vector no nulo x verifican la relación A x = Λ x diremos que Λ es un valor propio o autovalor de la matriz A y que x es un vector propio o autovector de A asociado al valor propio Λ.

Es fácil ver que diagonalizar una matriz A de tamaño n×n es lo mismo que encontrar n vectores propios linealmente independientes asociados a valores propios reales, ya que entonces podemos ponerlos por columnas y conseguir así la matriz P (puedes comprobar que entonces se cumple la relación que buscamos). Entonces, para diagonalizar una matriz lo que tenemos que hacer es buscar n vectores propios suyos linealmente independientes asociados a valores propios reales.

¿Cómo encontrar valores y vectores propios de una matriz?

Es fundamental, pues, hallar los valores propios de A y los vectores propios asociados. Como un vector propio Λ hace que el sistema Ax = Λx tenga solución x distinta de cero, la matriz de coeficientes A −ΛI (donde I denota la matriz identidad de orden n) debe tener determinante no nulo. Este determinante det(A−Λ I) es un polinomio en Λ de grado n y se denomina polinomio característico de A. Por lo tanto, los valores propios de A serán los ceros del polinomio característico de A. Observa que una matriz puede perfectamente tener valores propios imaginarios. Por otro lado, el conjunto de vectores propios de A asociados a un mismo valor propio Λ forman un subespacio vectorial de R n que se llama subespacio propio asociado al valor propio Λ, y es el nú clea de la matriz A −ΛI. Para concluir si una matriz A es o no diagonalizable bastará pues averiguar si hay "suficientes" valores propios reales para construir D y si hay "suficientes" vectores propios linealmente independientes asociados

La relación de congruencia

Definición de congruencia

Dado m ∈ Z , m> 1, se dice que a, b ∈ Z son congruentes módulo m si y sólo si m|(a-b). Se denota esta relación como a ≡ b (mod m). m es el módulo de la congruencia.

Es importante darse cuenta de que si m divide a a-b, esto supone que ambos a y b tienen el mismo resto al ser divididos por el módulo m.

Ejemplos: 23≡2 mod 7 (porque 23=3.7 + 2), y -6≡1 mod 7 (porque -6= -7.1 +1)

La relación de congruencia como equivalencia. El conjunto de residuos.

La relación de congruencia módulo m es una relación de equivalencia para todo m ∈ Z. Es decir, cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. Como en toda relación de equivalencia, podemos definir el conjunto cociente de las clases de equivalencia originadas por la relación de congruencia. En este caso la relación clasifica a cualquier entero a según el resto obtenido al dividirlo por el módulo m.

Llamaremos Zm al conjunto cociente de Z respecto de la relación de congruencia módulo m. A la clase de equivalencia de un elemento a ∈ Z se la denota por [a]m o simplemente [a].

Para todo a∈Z se tiene que [a] = [r] en Zm, donde r es el resto de dividir a entre m.Por lo tanto, el conjunto Zm es finito y tiene m elementos: Zm = { [0]m, [1]m, ... , [m-1]m}, donde la clase [i]m representa al conjunto de todos los enteros que son congruentes con i mod m. A este conjunto cociente se le conoce como el conjunto de restos o residuos (módulo m)

Ejemplo: siguiendo con el ejemplo anterior, está claro que en Z7, el número entero 9, el 16 y el 23 pertenecen todos a la clase [2], y que el entero -6, el 1 y el 8 pertenecen a la clase [1]

Compatibilidad de la relación de congruencia con la suma y el producto

Sean m ∈ N y a, b, c, d ∈ Z tales que a ≡ b (mod m) y c ≡ d (mod m). Entonces se cumple que:

a + c ≡ b + d (mod m)
a . c ≡ b . d (mod m)

Consecuentemente, el resto de la suma es congruente con la suma de restos, y el resto del producto es congruente con el producto de restos. Además podremos sumar y multiplicar clases de equivalencia (residuos) porque es indiferente el representante que se elija de cada clase a la hora de operar: el resultante de la operación siempre será un representante de la misma clase resultado.

Diagonalización de matrices simétricas o hermitianas

Ejemplo de una diagonalización de una matriz simétrica Matrices hermitianas Los autovalores de las matrices reales simétricas o complejas hermitianas son reales Existe una fórmula que nos permite calcular el autovalor correspondiente a cualquier vector propio de una matriz. Si x un vector propio de una matriz A (real o compleja), entonces la fórmula x ∗Ax = x ∗λ1x = λ1hx , xi = λ1kxk 2 implica que el autovalor de x es: λ1 = x ∗Ax kxk 2 .

(1) Esta fórmula tiene una consecuencia especial si A es una matriz hermitiana. Se llama matriz hermitiana a toda matriz A (real o compleja) que es igual a su traspuesta conjugada:

Definición de matriz A hermitiana ∗ = A. (2) Esta propiedad es equivalente a A = A T y en el caso de que A sea real simplemente significa que A es igual a su traspuesta, es decir, que es simétrica: las matrices hermitianas reales son exactamente las matrices reales simétricas. Supongamos que A es una matriz hermitiana.

Entonces A = A T y con un simple cálculo se comprueba que el numerador en (1) es necesariamente real porque su conjugado es él mismo: x ∗Ax = x ∗ A x = x TA T x (A = A T por ser hermitiana.) = x TA T x T (un número, como matriz 1 × 1, es simétrica.) = x T A T T (x T ) T = x ∗Ax