Tecnologias de la Información y Comunicación
Potencia de una matriz
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En ocasiones, las potencias de una matriz siguen un patrón en el sentido de que podemos obtener una forma general para obtener la potencia n-ésima de una matriz en particular.
Para obtener esta expresión calculamos las primeras potencias para observar si existe tal patrón.
Tenemos que fijarnos en:
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La relación entre la magnitud del exponente de la potencia y los elementos de la matriz. Por ejemplo, puede que algún elemento sea el exponente.
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La paridad del exponente. Por ejemplo, que las potencias pares sean de una forma y las impares de otra.
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Si hay distintos patrones. Por ejemplo, los exponentes múltiplos de un número pueden tener un patrón distinto a los que son múltiplos de otro.
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La variación de los signos. Por ejemplo, las potencias pares y las impares pueden cambiar de signos.
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Repetición. Por ejemplo, puede que todas las potencias sean una matriz constante determinada en función del exponente.
Este hecho nos hace pensar que, en ocasiones, calcular las potencias de una determinada matriz es un tarea relativamente fácil y existe un concepto (diagonalización de matrices) que nos permite, en mayor o menos medida, aprovechar esta facilidad.
En esta sección buscaremos la forma general de la potenciación de determinadas matrices reales, algunas con parámetros.
Autovalores y autovectores
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Sea un endomorfismo. Supongamos que la matriz de este endomorfismo es . Un autovector es un vector no nulo tal que , y esto "traducido" a la expresión matricial es (puesto que como sabemos ).
Trabajando a partir de la expresión , pasando el segundo miembro al primero, obtenemos . Si en esta expresión introducimos la matriz identidad de orden , y como , obtenemos , y de aquí
, que es un sistema de ecuaciones lineal y homogéneo cuya matriz de coeficientes es . Por tanto los autovectores son las soluciones no nulas de este sistema, por tanto el rango de la matriz de los coeficientes debe ser:
(Porque si el rango es el máximo posible , sabemos que un sistema homogéneo no tiene más que la solución nula). Si el , nos queda entonces que necesariamente . Por tanto los autovalores serán las soluciones de esta
ecuación (que veremos que será un polinomio de grado ). Resumiendo entonces, para calcular autovalores y autovectores procedemos como sigue:
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Calculamos los autovalores que son las soluciones de la ecuación .
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Para cada autovalor , calculamos los autovectores correspondientes, que serán las soluciones (no nulas) del sistema de ecuaciones .
CONSECUENCIA INMEDIATA: Los autovectores asociados a un autovalor (junto con el vector nulo, que no es autovector) forman un subespaciovectorial, porque son las soluciones de un sistema de ecuaciones lineal y homogéneo.
NOTACIÓN: El subespacio vectorial de los autovectores asociados al autovalor , se denota y se llama subespacio propio asociado a . Es decir, es el subespacio de soluciones del sistema de ecuaciones lineal y homogéneo .
Calcular autovalores y autovectores del endomorfismo cuya matriz es:
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Observamos que la ecuación característica es en último extremo el determinante de la matriz del endomorfismo, restando de los elementos de la diagonal, e igualado a cero. En adelante, partiremos directamente de esta última expresión de la ecuación característica.
Resolviendo el determinante, resulta la ecuación polinómica de tercer grado:
Para resolver una ecuación polinómica; lo primero siempre es ver si se puede sacar factor común, para resolver por factores (al fin y al cabo resolver una ecuación polinómica es factorizar); si es de segundo grado disponemos también de la conocida fórmula de resolución que siempre utilizaremos en este caso, y si es de orden 3 ó más y no se puede sacar factor común, nuestro recurso será la regla de Ruffini (que también se debe conocer), aunque por supuesto no es la única posibilidad de resolver ecuaciones polinominales, pero si la que nosotros debemos conocer para hallar las soluciones enteras o racionales. En nuestro caso desarrollamos y nos queda:
Tenemos la suerte que podemos sacar factor común (si no, ya saben, se aplica Ruffini). Recordemos una vez más que cuando se aplica dicha regla reiteradamente, puede llegar el momento en el que nos queda un polinomio de segundo grado; y en este caso es aconsejable utilizar la fórmula de resolución para las ecuaciones de segundo grado (no insistimos en Ruffini), porque nos da todas las soluciones, no solo las enteras, incluso nos dice si dicho polinomio de segundo grado no tiene soluciones reales.
Retomando nuestro ejemplo (sacando el factor común) resulta:
De donde una primera solución sale del primer factor; esto es y las otras soluciones del otro factor restante . Y aquí utilizamos la fórmula de resolución de las ecuaciones de segundo orden (no ruffini), o salvo que también se pueda sacar factor común, que es siempre lo ideal.
Las soluciones son pues .
Una vez calculados los autovalores, calculamos los autovectores correspondientes a cada uno de estos autovalores. Recordemos que este subespacio de autovectores se denota .
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