ESPACIOS VECTORIALES

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25/07/2017 “A”

27/07/2017 “B”

24/07/2017 “C”

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Introducción.

 

La idea de vector está tomada de la Física, donde sirven para representar magnitudes vectoriales como fuerzas, velocidades o aceleraciones. Para ello se emplean vectores de dos componentes en el plano, de tres componentes en el espacio...

Se supone conocida la representación gráfica y manejo de los vectores de ℜ 2 y de ℜ 3.

 

En Matemáticas, tratamos de abstraer las propiedades que caracterizan a los vectores para extenderlas también a otro tipo de objetos diferentes de los vectores de la Física.

 

Esencialmente, el comportamiento que caracteriza a los vectores es el siguiente:

 

•   Podemos sumar dos vectores y obtenemos otro vector;

 

•   Podemos multiplicar un vector por un número (escalar) y obtenemos otro vector.

 

Además estas operaciones cumplen ciertas propiedades, que observamos en los vectores de ℜ 2 y de ℜ 3 :

 

En lo sucesivo, utilizaremos habitualmente la siguiente notación: u,v,w (u otras letras latinas) para vectores, mientras que las letras griegas designarán escalares.

 

 

Propiedades de la suma de vectores.

 

•   Asociativa: (u+v)+w = u+(v+w)

 

 

•   Conmutativa:  v+u=u+v.

•   Existe un elemento neutro, el vector

 

 

K

0 , tal que

 

 

K

0 + v = v para cualquier vector v.

K

 

•   Para cada vector v existe un elemento opuesto, –v, que sumado con él da 0 .

 

Propiedades del producto de un vector por un escalar.

 

 

•   Asociativa:

 

 

 ( v) = (   ) v

 

 

•   Distributivas:

 

ƒ  Respecto de la suma de escalares: ( +  ) v =  v +  v

ƒ  Respecto de la suma de vectores:   (u + v) =  u + v

 

•   Existe un elemento unidad:  el escalar 1, tal que 1· v = v para cualquier vector v.

 

Definición: espacio vectorial.

 

Cualquier conjunto que posea unas operaciones suma y producto por escalares, cumpliendo todas las propiedades anteriores, diremos que es un espacio vectorial. Los elementos de tal conjunto se llamarán vectores (aunque pueda tratarse de objetos diferentes a los vectores de la Física.)

 

Diremos que el espacio vectorial es real o complejo, según sean los escalares.

 

•    Otras propiedades de los espacios vectoriales pueden deducirse de las anteriores propiedades básicas. Por ejemplo:                                        

 

Si  α v = 0 (α escalar, v vector) entonces o bien es α =0  o bien es  v = 0 .

 

Ejemplos de espacios vectoriales.

 

 

1)  El espacio  ℜn, formado por los vectores de n componentes (x1, . . .,xn) es un espaciovectorial real, en el que se pueden sumar vectores y multiplicar por un escalar (real) de la forma habitual.

 

Se puede comprobar que se cumplen las propiedades requeridas para ambas operaciones. El vector cero es (0,. . .,0).

 

No es un espacio vectorial complejo, pues no podemos multiplicar por escalares complejos (si lo hacemos, el resultado no se mantendrá dentro de ℜn ).

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2)  Consideremos el conjunto P2 de los polinomios de grado ≤ 2 con coeficientes reales:

 

P2 ={ ax2 + bx + c : a, b, c ∈ ℜ }

Es un espacio vectorial real, pues podemos sumar dos elementos de P2 y obtenemos otro elemento de P2  ; también podemos multiplicar un elemento de P2    por un escalar real y obtenemos otro elemento de P2. Veámoslo:

•   Suma: ( ax2 + bx + c ) + ( a’x2 + b’x + c’ ) = (a+a’) x2 + (b+b’) x + (c+c’) que pertenece a P2.

•   Producto por un escalar real:  ∈ ℜ ,  (ax + bx + c) = ax2 + bx + c que pertenece a P2.

 

​

 

Se puede comprobar que se cumplen las propiedades requeridas. El vector cero: 0x2 + 0x + 0

 

0 es el polinomio

 

 

No es un espacio vectorial complejo, pues al multiplicar por un escalar complejo el resultado podrá ser un polinomio complejo que no pertenece a P2.

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3)  Consideremos  el  conjunto  G  de  los  polinomios  de  grado  =  3  (exactamente  3)  con coeficientes reales.

 

No es un espacio vectorial (real ni complejo), pues al sumar dos elementos de G, no está garantizado que el resultado esté en G. En efecto, consideremos los polinomios

 

p = x3+x2+x+1  ,   q = –x3+x2+x+1

 

Pertenecen a G, pues su grado es 3. Pero su suma es p+q = 2x2+2x+2 que no pertenece a

G (su grado no es 3).

 

 

4) Consideremos el conjunto M2x2  (también denotado por M2) de las matrices 2x2 con términos reales:

 

 

M    =

  a    c 

2x2                  

 b   d 

 



: a, b, c, d ∈ ℜ



 

Es un espacio vectorial real, pues podemos sumar dos matrices de M2x2  obteniendo otra matriz de M2x2  , y multiplicar una matriz de M2x2  por un escalar real obteniendo otra matriz

K

 

de M2x2.    Se puede comprobar que se cumplen las propiedades. El vector  0

caso, la matriz con todos sus términos nulos.

 

No es un espacio vectorial complejo.

 

es, en este

 

 

 

 

5) Consideremos el conjunto MC de las matrices 2x3 con términos complejos.

 

Es un espacio vectorial real, pues podemos sumar dos matrices de MC obteniendo otra matriz de MC, y multiplicar un elemento de MC por un escalar real obteniendo otra matriz de MC.

 

También es un espacio vectorial complejo, pues podemos multiplicar una matriz de MC

por un escalar complejo obteniendo otra matriz de MC.

 

(Compruébese con elementos genéricos).

​

 

 

6) Consideremos el conjunto ME de las matrices 3x2 con términos enteros.

 

Podemos sumar dos matrices de ME y obtenemos otro elemento de ME:

 

 a    c 

 

 a'   c' 

 

En efecto, si tomamos                ,  

 

    con a, a’, b, b’, c, c’, d, d’ enteros,

 

 

 

 

 a    c 

 

 

 

 

 a'   c' 

 

 b   d 

 

 a+a'    c+c' 

 

 b'   d' 

 

 b   d  +  b'   d'   =  b+b'    d+d' 

 

también tiene términos enteros, luego pertenece a ME.

 

                                                                      

 

Sin embargo ME  no es un espacio vectorial real,  pues al multiplicar un elemento de ME por un escalar real no está garantizado que el resultado permanezca dentro de ME. Si el escalar es p.ej. el número real  1.25,  el resultado ya no es una matriz con términos enteros.

 

Por similar razón tampoco es un espacio vectorial complejo.

 

​

7) El conjunto C de los números complejos se puede considerar como un espacio vectorial real.  En  efecto,  se  pueden  sumar  dos  números  complejos  obteniéndose  otro  número

complejo;  y  se  puede  multiplicar  un  complejo  por  un  escalar  real,  obteniéndose  otro complejo. Es decir,

 

•   Suma:  (a+bi ) + (c+di ) = (a+c) + (b+d)i, que es otro número complejo.

•   Producto por un escalar real: ∈ ℜ ,      (a+bi ) = a + bi que es otro número complejo.

​

 

La suma y el pKroducto por un escalar cumplen todas las propiedades requeridas. En este caso el vector 0 es el número complejo cero, 0+0i.

 

Nótese que aquí los complejos funcionan como vectores (elementos del espacio vectorial C )

 

y los reales como escalares.

 

Observar además que, en este contexto, el conjunto de los números complejos se comporta igual que el espacio vectorial ℜ2 , identificando el número complejo a+bi con el vector (a,b).

 

Este es el motivo por el cual se suele representar el plano complejo como si fuera ℜ2 , con la parte real en el eje de abscisas y la parte imaginaria en el eje de ordenadas.

 

​

8) El conjunto de las funciones continuas definidas en y se puede multiplicar una función por un escalar real.

 

ℜ : Se pueden sumar dos funciones,

 

Por ejemplo, las funciones f(x)=x2 y g(x)=log(x) pueden sumarse y resulta otra función h(x)=x2+log(x). La función g(x)=log(x) puede multiplicarse por el escalar  y resulta la función k(x)= log(x).

 

Si sumamos dos funciones continuas, el resultado es otra función continua. Si multiplicamos una función continua por un escalar, el resultado es otra función continua.

K

Las operaciones cumplen las propiedades requeridas. El vector 0 es la función constante 0.

 

Por tanto se trata de un espacio vectorial real.

​

 

•Hay muchos otros espacios vectoriales. Gracias a esto, las propiedades que encontremos para  espacios  vectoriales en  general,  las  podemos  aplicar  a   matrices,   polinomios, funciones...

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Observación.

 

En algunos espacios vectoriales reales, distintos de ℜn , puede hacerse un “paralelismo” o“identificación” con ℜn , para un n adecuado.

 

Por ejemplo, ya hemos visto cómo el espacio vectorial real C de los números complejos puede identificarse con ℜ2 , correspondiendo el número complejo a+bi  al vector (a,b)

 

Veamos cómo el espacio P2 = { polinomios de grado ≤ 2 } puede identificarse con ℜ3   :  cada polinomio ax2+bx+c  correspondería al vector (a,b,c) de ℜ3 .

 

Lo mismo ocurre con el espacio de matrices M2x2 = { matrices 2x2 }, que se identifica con

 

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 b   d 

 ℜ4 , correspondiendo a la matriz  a    c            el vector (a,b,c,d).

 

 

En todos los casos las operaciones de suma y producto por escalar se pueden trasladar paralelamente del espacio considerado a ℜn .

 

Esto hace posible efectuar las operaciones en ℜn en lugar de otros espacios.

 

SUBESPACIOS VECTORIALES

 

 

 

Dado un espacio vectorial V, podemos considerar una parte S de él que funcione como un espacio vectorial “más pequeño”, incluido en V.

 

Como V es un espacio vectorial, posee unas operaciones (suma, producto por un escalar) que en particular se pueden efectuar en S. Sólo necesitaremos que, al efectuarlas, su resultado quede dentro de S.

 

 

 

Definición: Subespacio.

 

Dado un espacio vecKtorial V, se dice que un subconjunto S de V es un subespacio vectorial si contiene al vector 0 , y si al efectuar las operaciones de suma y producto por escalar entre vectores de S, el resultado permanece en S.

(Se puede decir que S es “cerrado” para las operaciones suma y producto por escalar.) Es decir:

K

•      0 ∈ S .

 

•     Si v, w ∈ S entonces v + w ∈ S.

 

•     Si v ∈ S  y   es un escalar, entonces v ∈ S.

 

Ya no hace falta comprobar que se cumplen las propiedades asociativa, conmutativa, etc. puesto que sabemos que se cumplen en V, y por tanto también en S (se dice que S “hereda” las propiedades de las operaciones en V).

 

Por supuesto si para V utilizamos escalares reales, también para S; si para V utilizamos complejos, también para S.

 

 

 

Ejemplos de subespacios.

 

1) La recta x=y es un subespacio de ℜ2 . Está formado por los vectores de la forma (a,a). Contiene al vector (0,0).

Además, es cerrado para la suma y producto por escalar:

 

•   Suma: (a,a) + (b,b) = (a+b, a+b) que también es un elemento de la recta.

•   Producto por un escalar: ∈ ℜ ,  (a,a) = (a, a) que también es un elemento de la recta.

 

 

 

2) El plano XY es un subespacio de ℜ3 . Está formado por los vectores de la forma (x,y,0). Contiene al vector (0,0,0).

Además, es cerrado para la suma y producto por escalar:

 

•   Suma: (x,y,0) + (x’,y’,0) = (x+x’, y+y’, 0) que también es un elemento del plano.

•   Producto por un escalar: ∈ ℜ , (x,y,0)=(x, y, 0) que también es un elemento del plano. Podemos decir que este plano “es como ℜ2 ” pero incluido en ℜ3 .

 

3) ¿Es un subespacio de ℜ2 el conjunto de los vectores de la forma (a,1)?

 

No, puesto que no contiene al (0,0).

O   también:   porque   no   se   puede   sumar   dentro   de   este   conjunto,   por   ejemplo (a,1)+(b,1)=(a+b,2) que no pertenece al conjunto.

 

4) En el espacio P2 = { polinomios de grado ≤ 2 }, el conjunto de los polinomios de grado ≤1 forma un subespacio. En efecto, contiene al polinomio cero, y podemos sumar y multiplicar

por un escalar sin salir del conjunto:

 

•Suma: (ax+b) + (a’x+b’) = (a+a’)x + (b+b’) que también es un polinomio de grado ≤1.

 

 

•   

 

 

5) Geométricamente, losK subespacios vectoriales de  ℜ2 de ellos es un punto, el { 0 }.

y ℜ3 son rectas, planos, y sólo uno. Las curvas o las superficies curvas no son subespacios; tampoco las figuras geométricas finitas, como círculos o polígonos en el plano, esferas o poliedros en el espacio.

 

(Comprobar gráficamente que no pueden sumarse vectores dentro de este tipo de conjuntos)

​

 

6) En todo espacio vectorial existen el subespacio cero, formado solamente por el vector

{ 0 }, y el subespacio total, formado por todos los vectores del espacio.

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​

Descripción de los subespacios de Rn.

 

Los subespacios de ℜ n pueden describirse de dos formas:  implícita  y  paramétrica.

 

•    Forma implícita:  Mediante ecuaciones. Los vectores que verifiquen las ecuaciones son los que pertenecen al subespacio.

 

•      Forma paramétrica:  Mediante una expresión con parámetros, los cuales al tomar distintos valores producen todos los vectores del subespacio.

 

Para pasar de una a otra forma:

 

 

 

•      De la forma implícita a la paramétrica:  Basta considerar las ecuaciones implícitas como un  sistema,  y  resolverlo.  La  solución  general  del  sistema  (que  podrá   depender  de parámetros) es la expresión paramétrica.

 

•      De la forma paramétrica a la implícita: Podemos decir, aunque no es un método riguroso, que se trata de “describir” mediante ecuaciones cómo es el vector genérico del subespacio.

 

Ayudará el conocer qué número de ecuaciones es necesario (lo que se verá más adelante).

 

 

 

Ejemplos:

 

 

1) En ℜ 2 , la recta bisectriz del primer cuadrante puede describirse en implícitas  como

 

{ y=x }, y en paramétricas como  { (,) :  ∈ ℜ }

 

 

2)  En ℜ 3, dado el subespacio en paramétricas { (, , –) : , ∈ ℜ }, su forma implícita

 

es la ecuación { z=x–y } .

 

 

3)  En ℜ 3, dado el subespacio en paramétricas { (, , 3) :  ∈ ℜ }, para  describirlo en

y = x

 

forma implícita necesitamos dos ecuaciones:

 

z = 3x

​

 

4) Consideremos el subespacio de ℜ 3 dado en implícitas por

 

x + z = 0

x + 2y + z = 0

 

¿Cuál  es  su  forma  paramétrica?    Para  ello  resolvemos  el  sistema,  que  es  compatible indeterminado. La solución depende de un parámetro y es  { (–, 0, ) :  ∈ ℜ }.

​

 

5) El subespacio cero y el subespacio total constituyen un caso especial. Por ejemplo en ℜ 3 :

 

 

- El subespacio { (0,0,0) } tiene como ecuaciones implícitas

 

x=0

y=0 z=0

 

Su forma paramétrica es (0,0,0): no hay parámetros, pues como se trata de un solo punto, no se puede variar nada.

 

- Por el contrario el subespacio total

 

ℜ 3  tiene como forma paramétrica { (,,) : ,, ∈ ℜ }

 

(tres parámetros variando libremente, pues no hay ninguna limitación). Ecuaciones implícitas no tiene ninguna, pues no hay restricción alguna que imponer.

 

Relación entre la forma implícita y paramétrica.

 

 

 

Si S es un subespacio de siguiente relación:

ℜ n, la forma implícita y paramétrica de S satisfacen en general la

 

 

Nº de ecuaciones implícitas + Nº de parámetros  = n.

(n es el nº de incógnitas).

 

Comprobar esta relación en los ejemplos anteriores.

 

Sin embargo para que esto sea cierto debe cumplirse que las ecuaciones implícitas sean independientes entre sí, es decir, que ninguna sea combinación lineal de otras. Esto significa que, considerando las ecuaciones como un sistema, no “sobre” ninguna ecuación: es decir, que la matriz de coeficientes tenga rango igual al número de ecuaciones.

 

También los parámetros deben ser independientes entre sí: por ejemplo en la expresión paramétrica (α+β, α+β, 0), que en ℜ 3 corresponde a la forma implícita {x=y , z=0}, no se cumple la relación anterior: 2+2 ≠ 3. Esto ocurre porque los dos dos parámetros no son independientes.  En  realidad  puede  sustituirse  α+β   por    un  solo  parámetro  λ      y  así tendríamos (λ, λ, 0)  y ya se cumple 2+1=3.

 

 

 

(Esto será más fácil de comprobar más adelante, en el punto “Bases y dimensión”, pues el número

de parámetros independientes es igual a la dimensión del subespacio).

 

 

 

Inclusión de subespacios.

 

Dados dos subespacios A y B, puede ocurrir que uno esté incluido en otro (una recta dentro de un plano, por ejemplo).

 

Se dice que A está contenido o incluido en B (y se denota A ⊂ B) si todos los elementos de A están también en B.

G

En cualquier espacio vectorial V, el subespacio { 0 } está contenido en todos los demás subespacios; mientras que todos ellos están contenidos en el total V.

 

 

Veamos cómo reconocer si un subespacio está incluido en otro:

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- En forma implícita: Si las ecuaciones de B están incluidas en las de A, entonces A ⊂ B. (Cuantas más ecuaciones implícitas, más pequeño es el subespacio).

 

- En forma paramétrica: Para ver si A ⊂ B, tendremos que ver si todo vector genérico de A, está en B.

 

Ejemplo

1) En ℜ 3, sean los siguientes subespacios dados en implícitas:

 

 

y=0

A=  z=0

 

 

b= { y=0 }

 

Tenemos que A ⊂ B , pues todo vector que satisfaga las dos ecuaciones de A, es decir que cumpla y=0, z=0,   también satisface la ecuación de B,  y=0.

 

 

2) En ℜ 3, sean los siguientes subespacios dados en paramétricas:

 

 

A= { (,0,0) :  ∈ ℜ }                   b= { (,0,) : ,  ∈ ℜ }

 

Tenemos que A ⊂ B , pues todo vector de la forma (,0,0) también es de la forma (,0,), tomando =0.

 

 

Ambos ejemplos son el mismo, pues se trata del eje X contenido en el plano XZ.

 

 

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OPERACIONES CON SUBESPACIOS

 

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Teorema

 

La intersección de subespacios es un subespacio.

 

En efecto, es posible sumar vectores dentro de S∩T , pues por ser S y T subespacios, la suma debe permanecer dentro de S y dentro de T, y por tanto dentro de S∩T. Lo mismo para el producto por

escalares.

 

Cálculo de la intersección.

 

 

La forma más sencilla (aunque no la única) de calcular S∩T es utilizar la expresión implícita de S y de T.

Como buscamos los vectores que verifiquen a la vez ambas condiciones, podremos describir S∩T considerando conjuntamente las ecuaciones implícitas de S y las de T (formando un sistema con todas ellas).

 

Este sistema, si es “sencillo”, puede considerarse ya como la forma implícita de S∩T. En todo caso, resolviendo este sistema obtenemos la forma paramétrica de S∩T.

 

 

Ejemplos.

 

1)   Sean en ℜ3   los subespacios  S=plano XY,  T=plano XZ. Sus ecuaciones implícitas son: S ≡ { z=0 },  T ≡ { y=0 }

z=0

 

Uniendo ambas tenemos

 



y=0

 

que es la expresión implícita de S∩T.

 

 

Se trata por tanto del eje X ,  { (,0,0) } en paramétricas.

 

 

 

 

 

2)  Sean en ℜ4 los subespacios dados por las ecuaciones implícitas

 

 

x+z=0

 

 

2x+3z=0

 

 



 U ≡  y+t=0

W ≡ 



 

 

x+y=0

 

 

x+z  = 0 y + t = 0

 

 

 

sistema cuya solución es (0,0,0,0)

 

Uniendo todas las ecuaciones resulta

 

2x + 3z = 0 x +y = 0

 

por tanto U∩W = { (0,0,0,0) }

 

 

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2. Suma de subespacios.

 

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Dados dos subespacios S, T se define el subespacio suma como: S+T = { u + v  :  u ∈ S , v ∈ T }

es decir, aquellos vectores que podamos construir sumando un vector de S y uno de T.

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La suma de subespacios es un subespacio.

 

Cálculo del subespacio suma.

 

Al contrario que la intersección, la suma S+T se calcula más fácilmente usando la forma paramétrica de S y de T.  Esto nos permite tomar un vector genérico de cada uno de los subespacios y sumarlos, obteniéndose una expresión paramétrica de S+T.

No obstante la forma paramétrica así obtenida puede tener parámetros no independientes. Más adelante, en el punto “Sistemas generadores” se dará otro método para calcular el

subespacio suma.

 

 

 

Ejemplo.

Consideremos los subespacios en ℜ3   dados en paramétricas por: H={ (, +, ) :  ,  ∈ ℜ }

 

K={ (0,0, )  :   ∈ ℜ  }

 

Entonces los elementos de H+K se formarán sumando (, +, ) + (0,0, ) = (, +, +)

 

es decir,  H + K = { (, +, +) :  , ,  ∈ ℜ  }

 

 

Observación

 

La intersección S∩T es un subespacio “más pequeño” que S y que T (está contenido en S y también en T).

Por el contrario la suma S+T es un subespacio “más grande” que S y que T, pues contiene a ambos.

 

De hecho S∩T es el mayor subespacio contenido en ambos, y S+T es el menor subespacio que contiene a ambos.