Rango de una matriz y sus aplicaciones

En cursos anteriores se ha estudiado la dependencia e independencia lineal de vectores. Recordemos algunas nociones:

1º En R2 dos vectores u = (a , b) y v = (c , d) son linealmente independientes cuando no son proporcionales, es decir, no existe ningún número real β que verifique: u = β . v.

Ejemplo: u = (3 , 5) y v = (9 , 6) son linealmente independientes puesto que no son proporcionales.

2º En R2 dos vectores u = (a , b) y v = (c , d) son linealmente dependientes cuando son proporcionales, es decir, existe un número real β que verifica: u = β . v.

Ejemplo: u = (3 , 5) y v = (9 , 15) son linealmente dependientes puesto que son proporcionales: v = 3 . u

3º En R3 tres vectores u = (a , b, c), v = (r , s , t) y w = (x , y , z) son linealmente independientes cuando ninguno de ellos se puede escribir como combinación lineal de los restantes, es decir, no existen números reales δ y β que verifiquen: u = δ . v + β . w.

Ejemplo: u = (1 , 2 , 3), v = (3 , 5 , 7) y w = (4 , 6 , 5) son linealmente independientes puesto que no existen números reales δ y β que verifiquen: u = δ . v + β . w. Si existieran tales números se cumpliría:

(1 , 2 , 3) = δ . (3 , 5 , 7) + β . (4 , 6 , 5), es decir, (1 , 2 , 3) = (3δ , 5δ , 7δ) + (4β , 6β , 5β), o lo que es lo mismo:

1 = 3δ + 4β; 2 = 5δ + 6β; 3 = 7δ + 5β; pero este sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas es incompatible, es decir, no tiene solución, lo que es equivalente a decir que no existe los números δ y β que verifiquen esa igualdad.

4º En R3 tres vectores u = (a , b, c), v = (r , s , t) y w = (x , y , z) son linealmente dependientes cuando alguno de ellos se puede escribir como combinación lineal de los restantes, es decir, existen números reales δ y β que verifican: u = δ . v + β . w.

Ejemplo: u = (18 , 28 , 29), v = (3 , 5 , 7) y w = (4 , 6 , 5) son linealmente dependientes puesto que existen números reales δ y β que verifican: u = δ . v + β . w.

(18 , 28 , 29) = δ . (3 , 5 , 7) + β . (4 , 6 , 5), es decir, (18 , 28 , 29) = (3δ , 5δ , 7δ) + (4β , 6β , 5β), o lo que es lo mismo:

18 = 3δ + 4β; 28 = 5δ + 6β; 29 = 7δ + 5β; Resolviendo este sistema se obtiene: δ = 2 y β = 3. Por lo tanto:

(18 , 28 , 29) = 2 . (3 , 5 , 7) + 3 . (4 , 6 , 5)

5º En general, un conjunto de vectores es linealmente independiente cuando ninguno de ellos se puede escribir como combinación lineal de los restantes y es linealmente dependiente cuando sucede lo contrario, es decir, cuando alguno de ellos se puede escribir como combinación lineal de los demás.

En una matriz se puede considerar que las filas (o las columnas) son vectores. Se llama rango de una matriz A al número de filas (o columnas) linealmente independientes. Se representa por rg (A). En cualquier matriz el número de filas linealmente independientes coincide con el número de columnas linealmente independientes. El valor máximo que puede tener el rango de una matriz es el menor de los números correspondientes al número de filas y columnas, es decir, si una matriz tiene dimensión 3 x 5, el valor máximo que puede alcanzar el rango de dicha matriz es 3 ( pues 3 = mínimo {3 , 5} ).

La única matriz que tiene rango 0 es la matriz nula. Cualquier otra matriz tendrá rango mayor o igual que 1.

Vector propio y valor propio

En álgebra lineal, los vectores propios, autovectores o eigenvectores de un operador lineal son los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian su dirección. Este escalar {\displaystyle \lambda } recibe el nombre valor propio, autovalor, valor característico o eigenvalor. A menudo, una transformación queda completamente determinada por sus vectores propios y valores propios. Un espacio propio, autoespacio, eigenespacio o subespacio fundamental asociado al valor propio {\displaystyle \lambda } es el conjunto de vectores propios con un valor propio común.

La palabra alemana eigen, que se traduce en español como propio, se usó por primera vez en este contexto por David Hilbert en 1904 (aunque Helmholtz la usó previamente con un significado parecido). Eigen se ha traducido también como inherente, característico o el prefijo auto-, donde se aprecia el énfasis en la importancia de los valores propios para definir la naturaleza única de una determinada transformación lineal. Las denominaciones vector y valor característicos también se utilizan habitualmente.

Los vectores pueden visualizarse como flechas de una cierta longitud apuntando en una dirección y sentido determinados.

Los vectores propios de las transformaciones lineales son vectores que, o no son afectados por la transformación o sólo resultan multiplicados por un escalar; y, por tanto, no varían su dirección.1
El valor propio de un vector propio es el factor de escala por el que ha sido multiplicado.
Un espacio propio es un espacio formado por todos los vectores propios del mismo valor propio, además del vector nulo, que no es un vector propio.
La multiplicidad geométrica de un valor propio es la dimensión del espacio propio asociado.
El espectro de una transformación en espacios vectoriales finitos es el conjunto de todos sus valores propios.

Por ejemplo, un vector propio de una rotación en tres dimensiones es un vector situado en el eje de rotación sobre el cual se realiza la rotación. El valor propio correspondiente es 1 y el espacio propio es el eje de giro. Como es un espacio de una dimensión, su multiplicidad geométrica es uno. Es el único valor propio del espectro (de esta rotación) que es un número real.

Ejemplos

A medida que la Tierra rota, los vectores en el eje de rotación permanecen invariantes. Si se considera la transformación lineal que sufre la Tierra tras una hora de rotación, una flecha que partiera del centro de la Tierra al polo Sur geográfico sería un vector propio de esta transformación, pero una flecha que partiera del centro a un punto del ecuador no sería un vector propio. Dado que la flecha que apunta al polo no cambia de longitud por la rotación, su valor propio es 1.

Otro ejemplo sería una lámina de metal que se expandiera uniformemente a partir de un punto de tal manera que las distancias desde cualquier punto al punto fijo se duplicasen. Esta expansión es una transformación con valor propio 2. Cada vector desde el punto fijo a cualquier otro es un vector propio, y el espacio propio es el conjunto de todos esos vectores.

Una onda estacionaria en una cuerda fija en sus cabos o, más concretamente, una función propia de la transformación correspondiente al transcurso del tiempo. A medida que varía el tiempo, la onda estacionaria varía en amplitud, pero su período no se modifica. En este caso el valor propio es dependiente del tiempo.

Sin embargo, el espacio geométrico tridimensional no es el único espacio vectorial. Por ejemplo, considérese una cuerda sujeta por sus extremos, como la de un instrumento de cuerda (mostrada a la derecha). La distancia de los átomos de la cuerda vibrante desde sus posiciones cuando ésta está en reposo pueden interpretarse como componentes de un vector en el espacio con tantas dimensiones como átomos tenga dicha cuerda.

Si se supone que la cuerda es un medio continuo y se considera la transformación de la cuerda en el transcurso del tiempo, sus vectores propios o funciones propias son sus ondas estacionarias—lo que, mediante la intervención del aire circundante, se puede interpretar como el resultado de tañer una guitarra. Las ondas estacionarias corresponden a oscilaciones particulares de la cuerda tales que la forma de la cuerda se escala por un factor (el valor propio) con el paso del tiempo. Cada componente del vector asociado con la cuerda se multiplica por este factor dependiente del tiempo. Las amplitudes (valores propios) de las ondas estacionarias decrecen con el tiempo si se considera la atenuación. En este caso se puede asociar un tiempo de vida al vector propio, y relacionar el concepto de vector propio con el concepto de resonancia.

Rango de una matriz y sus aplicaciones

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Ejemplos